Окончив среднюю школу с достаточно высоким средним баллом, Энгин поступил в Государственный университет Анкары, где учился сразу на двух специальностях – историческом и лингвистическом факультетах. В 2015 году Энгин Акюрек был номинирован на международную премию Эмми за роль в сериале «Грязные деньги, лживая любовь». Он стал первым турецким актёром, номинированным на эту премию. Родители Энгина из города Терджан в провинции Эрзинджан в Восточной Анатолии. Отец занимал должность государственного чиновника, а мама вела домашнее хозяйство и воспитывала детей. Есть родной брат Эрен, младше его на несколько лет. В студенческие годы он начал посещать драматическую студию и играть в любительских постановках. В 2004 году, два года спустя после окончания университета, Энгин решается поучаствовать в популярном талант-шоу «Звезды Турции», где ему удается одержать победу в категории «Актерское мастерство».